中國科技大學破解凱勒幾何兩大核心猜想：困擾世界60多年

據(jù)中國科技大學官方消息，該校幾何物理中心創(chuàng)始主任陳秀雄教授與合作者程經(jīng)睿在偏微分方程和復幾何領域取得“里程碑式結果”，解出了一個四階完全非線性橢圓方程。

這成功證明了兩個國際數(shù)學界60多年懸而未決的核心猜想“強制性猜想”和“測地穩(wěn)定性猜想”，解決了若干有關凱勒流形上常標量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問題。

幾何物理中心創(chuàng)始主任陳秀雄教授(中)與程經(jīng)睿(左)在一起 陶冬青/ 攝

據(jù)悉，凱勒流形上常標量曲率度量的存在性，是過去60多年來幾何中的核心問題之一，衍生出了三個著名猜想——穩(wěn)定性猜想、強制性猜想、測地穩(wěn)定性猜想。

穩(wěn)定性猜想限制在凱勒-愛因斯坦度量時稱為丘成桐猜想，由著名華裔數(shù)學家丘成桐于20世紀90年代提出，并由陳秀雄、唐納森和孫崧率先解決。

經(jīng)過近20年眾多著名數(shù)學家的工作，強制性猜想、測地穩(wěn)定性猜想中的必要性已變得完全清晰，但其充分性的證明之前被認為遙不可及。

求出一類四階完全非線性橢圓方程的解，就能證明常標量曲率度量的存在性。陳-程的工作恰恰就是在K-能量強制性或測地穩(wěn)定性的假設下，證明了這類方程解的存在。

這類方程的研究極為困難，長期以來業(yè)內專家普遍不相信會有一個令人滿意的存在性理論，之前對此類方程幾乎沒有合適的處理工具。

陳-程最重要的突破，是給出了這類方程的先驗估計，成功實現(xiàn)了陳秀雄教授提出的新的連續(xù)參數(shù)的策略。

專家認為，求解一類四階完全非線性橢圓方程，此前就如同一塊無形的幕墻擋在數(shù)學家面前，陳-程的工作就是在幕墻上“掏了一個洞”，在毫無征兆的情況下找到一個突破口，不僅求出了方程的解，而且建立了一套系統(tǒng)研究此類方程的方法，為探索未知的數(shù)學世界提供了一種新工具。

此外，他們還給出了環(huán)對稱凱勒流形上穩(wěn)定性猜想的證明，將唐納森在環(huán)對稱凱勒曲面上的經(jīng)典定理推廣到了高維，并對一般穩(wěn)定性猜想的證明提出可能的解決方案，讓一般穩(wěn)定性猜想的完全解決成為可能。

審稿人評價：“陳-程的突破性工作原創(chuàng)性極高、技術艱深，不僅解決了凱勒幾何中重大難題，也為此類非線性方程提供了深刻的洞見?？梢灶A見，這一系列論文將成為幾何與偏微分方程領域的經(jīng)典之作。”

英國皇家科學院院士、Fields獎和首屆數(shù)學突破獎得主西蒙·唐納森爵士認為，陳-程的工作提供了眾多常標量曲率凱勒度量的新例子，毫無疑問將成為完全認識這個問題的基礎。

美國科學院院士布萊恩·勞森教授表示，陳和程最近的系列論文令人驚嘆，誠為該領域里一個實質性的突破。